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Thème 1 : Prévention de risques spécifiques à la santé et à la sécurité du travail

Développement d’un modèle statistique de prédiction de la durée de vie du rachis lombaire, dépendant de la contrainte appliquée, de l’âge et de la densité osseuse

Development of a statistical model for predicting the lifetime of the lumbar rachis, according to cyclic stresses, age and bone density
Desarrollo de un modelo estatístico de predicción de la duración de vida del raquis lumbar, según la coacción aplicada, la edad y la densidad
Houcine Ayari, Marc Thomas et Sylvie Doré

Résumés

École de technologie supérieure, 1100, rue Notre-Dame Du fait de l’inhomogénéité densimétrique et structurale des vertèbres entre les individus et du fait que la résistance osseuse dépende de la densité osseuse et de la continuité du réseau trabéculaire, qui change avec l’âge, on ne peut pas considérer que le comportement en fatigue des vertèbres dépende uniquement de la contrainte appliquée. Dans cette étude, un modèle de prédiction de durée de vie est proposé permettant d’évaluer le nombre de cycles de fatigue avant dommage en fonction de la contrainte appliquée, de la densité osseuse et de l’âge du spécimen. Vu leur grande dispersion, les résultats des essais de fatigue publiés par Brinckmann (1988) ont été classifiés afin de pouvoir être analysés par la méthode des plans d’expériences. Un modèle non linéaire présentant un coefficient de détermination R2 de 94 % est établi. En comparant les valeurs prédites par ce modèle avec les résultats des essais de fatigue de Hansson (1987), on constate une certaine cohérence entre les résultats. Cette étude justifie l’hypothèse que la densité osseuse et l’âge outre la contrainte appliquée ont un effet sur la fatigue du rachis.

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Texte intégral

Les auteurs tiennent à remercier l’IRSST pour son soutien financier dans l’attribution de bourses aux étudiants.

1. Introduction

1L’os, comme tout autre matériau, est sujet à la fatigue mécanique lorsqu’il est soumis à un chargement cyclique répétitif. Le chargement cyclique in vivo se produit soit dans des lieux de travail exposés aux vibrations mécaniques soit pendant des opérations de manipulation ou durant des activités de loisirs et sportives. Comme exemple, l’exposition continuelle du corps humain à des vibrations globales intenses peut être, à long terme, à l’origine de problèmes de lésions lombaires dues à des contraintes dynamiques (principalement de compression) dans la colonne vertébrale qui causent la fatigue des os et des microfissures dans l’os spongieux (Pope, 1998 ; Bovenzi, 1998 ; Magnusson, 1998 ; Seidel, 1998 ; Thomas, 1999 ; Thomas, 2004 ; Sandover, 1998).

2La rupture par fatigue de l’os vertébral est importante sur les plans clinique et biologique. D’un point de vue clinique, les dommages et les déformations permanentes, sous un chargement cyclique, peuvent probablement affaiblir le corps vertébral (Burr, 1997 ; Kopperdahl, 2000) en induisant la migration des remplacements articulaires. Le mécanisme de dommage causé par fatigue dans l’os cortical et trabéculaire peut provoquer les fissures et leur propagation jusqu’à la rupture finale. Des microfissures observées dans les vertèbres ont contribué à la diminution de la résistance de rupture des vertèbres (Wenzel, 1996). Biologiquement, le cumul des dommages sous un chargement cyclique répétitif est le responsable du déclenchement du mécanisme de remodélisation de l’os. Puisque la remodélisation in vivo de l’os cortical peut être déclenchée avec l’apparition des dommages par fatigue, il est possible que le chargement cyclique agisse également en tant que stimulus pour lancer le mécanisme de remodélisation de l’os trabéculaire des vertèbres.

3L’os spongieux, représentant presque 90 % du volume total des vertèbres, a une structure poreuse et son rôle fondamental est d’absorber l’énergie (amortisseur). La porosité est une variable importante dans la détermination des propriétés mécaniques. Pour un tissu osseux normal, la porosité montre un rapport approximativement linéaire avec la densité apparente (masse/volume). Par ailleurs, la densité apparente d’un tissu osseux est représentative de la quantité de tissu minéralisé. Mais le critère de contenu minéral d’un tissu osseux comme seul critère de différenciation entre les patients pour diagnostiquer les fractures vertébrales (ou non) est limitatif. Ces limitations exigent des études cliniques de suivi sur des centaines et parfois des milliers de patients, et ce sur plusieurs années, pour développer un résultat statistique suffisant pour l’analyse des effets de maladie et de traitement (Guglielmi, 1995 ; Melton, 2000).

4Puisqu’il s’agit d’un solide hétérogène de cellules poreuses, les propriétés mécaniques de l’os trabéculaire dépendent de la densité osseuse, de l’architecture, de la santé, des sites anatomiques, de la direction du chargement et du mode de chargement. La relation entre le vieillissement et la densité osseuse vertébrale est bien connue et très bien documentée dans la littérature scientifique (Ferguson, 2003 ; Ettinger, 2003 ; Myers, 1997). Aussi, ce n’est pas le sujet de cette étude. En fait, si l’âge augmente, la rigidité et la résistance de l’os diminuent de presque 10 % par décennie (McCalden, 1997 ; Mosekilde, 1987). Les pathologies telles que l’ostéoporose et le cancer influent sur les propriétés mécaniques (Hipp,1992 ; Pugh, 1974). La rigidité et la résistance de l’os spongieux dépendent fortement de la densité apparente. Ces relations varient en fonction des sites anatomiques, de l’âge et des maladies. Des relations de type linéaire et de puissance sont utilisées pour décrire la dépendance entre la rigidité et la résistance compressive avec la densité apparente de l’os dont les coefficients de détermination varient de 0.5 à 0.9 (Brinckmann, 1989 ; Keller, 1994 ; Ebbesen, 1999 ; Haidekker, 1999 ; Crawford, 2003).

5Avec le vieillissement ou chez des patients souffrant du problème d’ostéoporose, une diminution de la densité minérale des vertèbres conduit à des changements morphologiques, incluant l’amincissement des trabécules, l’augmentation des espaces intratrabéculaires et la diminution de la connectivité entre les trabécules. Ce phénomène cause une perte de résistance, augmente la fragilité des vertèbres, le risque de fracture et de rupture par fatigue (Silva, 1997 ; Mosekilde, 1993 ; Snyder, 1993 ; Goldstein, 1993 ; Fergusson, 2003, Ettinger, 2003 ; Myers, 1997).

6Les paramètres tels que le sexe, la race, le tabagisme, l’état de santé et l’alimentation influent sur la densité osseuse et par conséquent aussi sur la résistance à la fatigue des vertèbres. Plusieurs considérations théoriques minent l’utilisation seule de la densité osseuse comme substitut des propriétés mécaniques des vertèbres (résistance à la compression, rigidité). En fait, la densité minérale de l’os est une valeur intégrale du contenant d’os et, par conséquent, elle ne peut pas refléter les effets potentiels importants de différences structurales subtiles (Lochmuller, 2002) et des inhomogénéités densimétriques (Banse, 2001) sur la résistance des vertèbres. L’orientation et le modèle du réseau trabéculaire varient par contre dans chaque structure d’os. Il semble qu’il y ait un rapport entre la rigidité et le facteur de continuité de l’os spongieux (Carter, 1977 ; Ferguson, 2003). La diminution de la résistance vertébrale ne résulte pas seulement d’une diminution de densité osseuse, mais également du changement profond dans l’architecture et du mécanisme de remodélisation résultant du cumul des dommages sous un chargement cyclique (Ferguson, 2003). Les propriétés mécaniques (Su, rigidité...) des vertèbres dépendent non seulement de la masse d’os (densité osseuse), mais également de la continuité du réseau trabéculaire, qui change avec l’âge (Silva, 1997 ; Mosekilde, 1993 ; Snyder, 1993 ; Goldstein, 1993 ; Ferguson, 2003). Des résultats cliniques (Parfitt, 1993) démontrent qu’avec le vieillissement, les ostéocytes, cellules responsables de la réparation des microfissures et également des macrofissures du tissu osseux, meurent et le phénomène de micro-ostéoporose, favorisant la fragilité de l’os, s’installe. De nombreuses recherches tentent d’inclure tous les paramètres significatifs, mais devant la complexité du problème, peu de résultats probants en découlent. Aussi, il est plus efficace d’être limitatif dans la sélection des paramètres afin d’apporter des résultats tangibles dans une approche pas à pas.

7Dans cet article, nous cherchons à établir un modèle empirique de prédiction de la durée de vie de la partie antérieure de l’unité vertébrale et à étudier l’effet de la densité osseuse, de l’âge et de la contrainte appliquée sur la fatigue du rachis lombaire. Cette problématique est d’actualité et touche des domaines aussi variés que la biomécanique, la physiologie et la santé publique. Cette recherche a pour but d’apporter quelques éléments de réponse là où des questions subsistent encore.

8Nous avons utilisé l’âge, la densité apparente de l’os et la contrainte appliquée dans la modélisation du phénomène de fatigue des vertèbres lombaires.

9Notre développement est basé sur l’analyse statistique des résultats publiés dans l’étude de Brinckmann (1988) vu que c’est la seule étude expérimentale présentant suffisamment d’essais et tenant compte de l’âge, de la densité et de la contrainte appliquée pour chaque test de fatigue. Brinckmann et coll. (1988), dans leur étude, n’ont pas essayé de modéliser une fonction analytique reliant le nombre de cycles avec le niveau de contrainte. Ceci est dû à la faiblesse d’un tel modèle pour les faibles cycles de rupture en fatigue et à la variabilité des propriétés mécaniques et structurales des spécimens testés. Ils ont constaté qu’à des charges de moins de 30 % de la force de rupture en statique la défaillance était rare et ils ont plutôt discuté du fait qu’un effort de 30 % pourrait être considéré comme une limite d’endurance pour une exposition in vivo. Cette recherche a été liée principalement aux activités de levage et de manipulation. Les résultats des essais ont été présentés en fonction du niveau de la contrainte appliquée et de la probabilité de rupture.

10Vu la grande dispersion des résultats observés par Brinckmann (tel qu’attendu dans ce type d’étude), nous avons pris l’initiative de regrouper ces données en classes (de la même façon qu’on doit le faire dans les études de fiabilité lorsque les résultats comportent des événements aléatoires (Thomas, 2002), afin de pouvoir les analyser statistiquement. À partir des résultats classés, nous avons élaboré un plan d’expériences factoriel basé sur les variables indépendantes représentées par la contrainte appliquée, la densité osseuse et l’âge et en tenant compte d’une répétition. La répétition des tests permet d’établir le facteur d’erreur du plan d’expériences.

2. Méthodologie

2.1. Modèle mathématique proposé

11La plupart des modèles de fatigue proposés, tel celui de Lafferty (1979), sont basés sur le modèle suivant :

12N = (S/Su)n (1)

13Où S : contrainte appliquée ;
Su : contrainte ultime de rupture ;
n : exposant dépendant du matériau.
N : nombre de cycles avant qu’un dommage ne se manifeste.

2.1.1. Modèle non-linéaire

14La fatigue de l’os vertébral peut dépendre en fait de plusieurs variables, tels le chargement, la densité osseuse, l’âge, la fréquence d’excitation vibratoire, le sexe, la posture et plusieurs autres facteurs. Pour simplifier l’étude, parmi ces variables, nous avons considéré la contrainte appliquée, la densité osseuse, l’âge et la fréquence du chargement appliqué (Lafferty, 1979 ; Pope, 1998 ; Bovenzi, 1998 ; Magnusson, 1998 ; Seidel, 1998 ; Thomas, 1999 ; Thomas, 2004). La méthode des plans d’expériences exige l’indépendance entre les facteurs étudiés. La densité osseuse dépend des facteurs suivants : sexe, tabagisme, alimentation et race (ces facteurs sont confondus avec la densité osseuse), ce qui justifie le choix de la densité comme variable unique considérée. Les propriétés mécaniques (résistance, rigidité...) des vertèbres dépendent non seulement de la masse d’os (densité osseuse), mais également de la continuité du réseau trabéculaire, qui change avec l’âge (Silva, 1997 ; Mosekilde, 1993 ; Snyder, 1993 ; Goldstein, 1993 ; Ferguson, 2003). Des résultats cliniques (Parfitt, 1993) démontrent qu’avec le vieillissement, les ostéocytes, cellules responsables de la réparation des microfissures et également des macrofissures du tissu osseux, meurent et le phénomène de micro-ostéoporose, favorisant la fragilité de l’os, s’installe. Aussi, on peut se demander si la dépendance entre âge et densité est complète, ce qui justifie le choix a priori de l’âge comme variable outre la densité osseuse, l’âge agissant aussi sur le comportement en fatigue des vertèbres. L’analyse des résultats montrera s’il y a indépendance ou non.

15Si on suppose que toutes ces variables ayant une certaine indépendance sont mesurables et si la fréquence de chargement est constante, la réponse (durée de vie N en nombre de cycles) du système peut être exprimée comme :

16N = F(S,A,D) (2)

17Où S : contrainte appliquée ;
D : densité osseuse.
A : âge du spécimen.

18Dans cette étude, on propose un modèle original non linéaire de prédiction sous la forme suivante :

19N = C.S*n1.Dn2.An3 (3)

20Où S* : contrainte appliquée normalisée par rapport à la contrainte ultime moyenne telle que déterminée par Brinckmann et coll. (1988).
D : densité osseuse (mg/ml).
A : âge du spécimen (années).
C : constante à déterminer d’après l’étude statistique des résultats expérimentaux.
n1, n2, n3 exposants à déterminer d’après l’étude statistique des résultats expérimentaux.

2.1.2. Formulation linéaire

21L’équation (3) peut être écrite sous la forme linéaire suivante :

22Ln (N) = Ln (C) + n1 Ln (S)+ n2 Ln (D)+ n3Ln(A) (4)

23L’équation (4) peut être mise sous la forme :

24Ŷ = Y - Є =b0 + b1 X1 + b2 X2 +b3 X3 (5)

25Où Ŷ : réponse théorique estimée (en échelle logarithmique).
Y : logarithme de la durée de vie N mesurée,
X1, X2, X3 transformations logarithmiques de la contrainte normalisée, de la densité et de l’âge.
b0, b1, b2, b3 coefficients estimés par la méthode des moindres carrés.
Є erreur expérimentale.

26L’équation (5) peut également être transformée en un modèle polynomial de second ordre selon :

27Ŷ = Y - Є =b0 + b1 X1 + b2 X2 +b3 X3 + b11 X12 + b22 X22 + b33 X32
 + b
12 X1 X2 + b13 X1 X3 + b23 X2 X3 (6)

28Où Ŷ : réponse théorique estimée (en échelle logarithmique).

29Les bij sont estimés par la méthode des moindres carrés selon la formule suivante :

30bij =(XTX)-1 XTY (7)

31X : la matrice de calcul
XT la matrice transposée de X,
XTX la matrice de variance
(XTX)-1 la matrice de covariance
Y la réponse mesurée : Ln(N).

32Y est la réponse mesurée : Ln(N).

2.2. Plan d’expériences

33En se basant sur l’étude de Brinckmann et coll. (1988) effectuée sur 69 segments vertébraux exposés à une contrainte de compression cyclique (contrainte dynamique de forme triangulaire) avec une fréquence de 0.25 Hz, on a conduit un plan d’expériences afin de bien modéliser le phénomène. La contrainte appliquée S* dans cette étude varie de 10 à 80 % de la contrainte ultime.

  • Pour réaliser un plan d’expériences complet, nous avons regroupé les résultats en classes (tableau 1).

Tableau 1. Variables indépendantes du plan d’expériences

Conditions expérimentales et résultats

Codage

S*

D

A

N Cycles

X1

X2

X3

Y

20

80

25

5000

-1

-1

-1

8.51719319

20

80

75

5000

-1

-1

1

8.43381158

20

120

25

5000

-1

0

-1

8.51719319

20

120

75

5000

-1

0

1

8.51719319

20

160

25

5000

-1

1

-1

8.51719319

20

160

75

5000

-1

1

1

8.51719319

40

80

25

3100

-0.333333

-1

-1

8.03915739

40

80

75

2460

-0.333333

-1

1

7.80791663

40

120

25

5000

-0.333333

0

-1

8.51719319

40

120

75

3400

-0.333333

0

1

8.13153071

40

160

25

5000

-0.333333

1

-1

8.51719319

40

160

75

5000

-0.333333

1

1

8.51719319

60

80

25

2700

0.333333

-1

-1

7.90100705

60

80

75

550

0.333333

-1

1

6.30991828

60

120

25

5000

0.333333

0

-1

8.51719319

60

120

75

800

0.333333

0

1

6.68461173

60

160

25

5000

0.333333

1

-1

8.51719319

60

160

75

1500

0.333333

1

1

7.31322039

80

80

25

177

1

-1

-1

5.17614973

80

80

75

25

1

-1

1

3.21887582

80

120

25

600

1

0

-1

6.39692966

80

120

75

75

1

0

1

4.31748811

80

160

25

4000

1

1

-1

8.29404964

80

160

75

820

1

1

1

6.70930434

34Ces variables font apparaître :

  • Quatre niveaux de contrainte S* :

35une valeur de 20 % est estimée lorsque la contrainte varie de 10 à 30 %,
40 % pour une contrainte variant de 30 à 50 %,
60 % pour une contrainte qui varie de 50 à 70 %, et de
80 % pour une contrainte supérieure à 70 %.

  • Trois niveaux de densité osseuse D des vertèbres (mg/ml), soit :

3680 mg/ml si la densité est inférieure à 100 mg /ml,
120 mg/ml pour une densité qui varie de 100 à 140 et
160 mg/ml pour une densité supérieure à 140 mg/ml.

  • Deux niveaux d’âge A soit :

375 si l’âge est inférieur à 50 ans et
75 si l’âge du spécimen est supérieur à 50 ans.

38Le codage est utilisé pour fins d’analyse statistique des effets des interactions entre les différents facteurs de différentes unités. Le codage améliore ainsi la précision des calculs et permet de comparer un facteur par rapport aux autres sans l’influence de leurs grandeurs. Ceci est intéressant pour déterminer l’importance relative de chaque facteur et le sens de sa contribution (+ ou -). 

39La variable codée a été définie par :

Xi =

2*Ln(X)-Ln(Xmax*Xmin)

(8)

Ln(Xmax/Xmin)

40Xi : Variable codée.
X : Variable naturelle (contrainte appliquée, densité et âge du spécimen).
Xmin : Variable naturelle à sa valeur minimale.
Xmax : Variable naturelle à sa valeur maximale.

41Soit X1 = 1.4427 Ln(S*) - 5.3219
X2 = 2.8854 Ln(D) - 13.644
X3 = 1.8204 Ln(A) - 6.86

2.3. Analyse de variance (ANOVA)

42L’analyse de variance (Anova) permet d’étudier les effets principaux des variables indépendantes ainsi que leurs interactions afin de connaître leurs effets combinés sur la variable dépendante. En fonction des variables significatives et de leurs interactions, une analyse de régression multiple sur l’équation linéarisée (6) va permettre d’établir un modèle empirique présentant un coefficient de détermination R2.

2.4. Validation du modèle

43Pour qu’un modèle empirique soit valide, il doit d’abord respecter les postulats statistiques suivants (Gérald, 1989) :

  • Indépendance des résidus : en traçant les résidus en fonction de l’ordre des essais, nous devrions retrouver un profil entièrement aléatoire.

  • Homogénéité des variances : il faut s’assurer que les résidus possèdent une variance homogène. Cette vérification se fait par l’entremise des graphiques des résidus en fonction des valeurs prédites et des résidus en fonction de chaque facteur significatif. En fait, si le modèle est adéquat et que les hypothèses sont satisfaites, alors les graphes des résidus ne devraient présenter aucune tendance particulière.

  • Normalité des résidus : la vérification de la normalité des résidus consiste à positionner les résidus sur un graphique probabilité - Normale. Si la distribution des résidus est normale, alors le graphique devrait ressembler à une ligne droite (l’examen du graphique devrait surtout mettre l’emphase sur les points centraux plutôt que sur les points extrêmes).

44Le logiciel statgraphics V5.1 a été utilisé pour faire l’analyse statistique et réaliser l’analyse de variance (méthode ANOVA).

3. Analyse des résultats

3.1. Analyse de variance

45Les résultats de l’analyse de variance, compilés au tableau 2, montrent que toutes les variables et les interactions d’ordre 2 impliquant la contrainte appliquée (contrainte - densité et contrainte - âge) ont un effet significatif sur la variable dépendante, soit la durée de vie N (en nombre de cycles) avec une probabilité de 95 % (P<0.05). L’analyse de l’interaction triple n’a montré aucun effet significatif.

Tableau 2. Analyse de variance d’ordre 2 des variables indépendantes

Source

S.S

df

MS

F- Ratio

P-value

S* :Contrainte_S % : (X1)

29

3

9.7

1041

0.0000 ; significatif

D :Densité (X2)

5.6

2

2.83

303

0.0000 ; significatif

A : Âge :(X3)

5

1

5

534

0.0000 ; significatif

S*D : (X1 X2)

6.6

6

1.1

118

0.0000 ; significatif

S*A : (X1 X3)

3.9

3

1.3

139

0. 0000 ; significatif

D*A : (X2 X3)

0.15

2

0.075

8

0. 02 ; significatif

Résidu

0.056

6

0.009

Total corr.

50.6

23

46Les figures 1 et 2 montrent les interactions significatives d’ordre 2 entre contrainte-densité et entre contrainte - âge.

Figure 1. Effet de la densité (D) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles

Figure 1. Effet de la densité (D) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles

47L’analyse des interactions montre que le nombre de cycles en fatigue avant rupture diminue, tel qu’attendu, lorsque la contrainte appliquée S* est plus forte. Cet effet est d’autant plus significatif que la densité osseuse D est faible et que l’âge A est élevé. On constate que pour une contrainte S* faible, de l’ordre de 20 % de la contrainte ultime des vertèbres, les facteurs âge A et densité D ont un effet négligeable (effet non significatif) sur la durée de vie N du rachis lombaire.

Figure 2. Effet de l’âge(A) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles

Figure 2. Effet de l’âge(A) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles

48L’interaction entre âge A - densité D est beaucoup moins significative (P = 0.02). Ceci est montré par la figure 3 où l’on voit deux segments presque parallèles. Ce résultat mitigé justifie le doute que l’on avait a priori sur l’indépendance de ces deux facteurs.

Figure 3. Effet de la densité (D) et de l’âge (A) sur le nombre de cycles

Figure 3. Effet de la densité (D) et de l’âge (A) sur le nombre de cycles

3.2. Développement d’un modèle non linéaire

49L’analyse de régression multiple sur les variables indépendantes linéarisées (tableau 3) montre que les variables indépendantes de densité osseuse et d’âge interagissent avec la contrainte appliquée sur la durée de vie du rachis et permet de calculer les coefficients du modèle.

Tableau 3. Analyse de régression multiple

Paramètre

Coefficients de régressions estimation

Écart type

T statistique

P value

Constante

7.998

0.12

66

0.0000 ; significatif

S* :Contrainte : (X1)

-1.375

0.1

-13

0.0000 ; significatif

D :Densité (X2)

0.594

0.09

6

0.0000 ; significatif

A : Âge : (X3)

-0.456

0.07

-6

0.0000 ; significatif

S*S (X1 X1)

-0.904

0.17

-5.3

0.0001 ; significatif

S*D : (X1 X2)

0.75

0.12

6

0.0000 ; significatif

S*A : (X1 X3)

-0.516

0.1

-5

0.0001 ; significatif

50En ne considérant que les effets significatifs, l’équation (6) devient :

51Ŷ = b0 + b1 X1 + b2 X2 +b3 X3 + b11 X12 + b12 X1 X2+ b13 X1 X3 (10)

52Les coefficients de régressions bij sont déterminés par le logiciel statgraphique 5.1 (tableau 3), l’équation (10) se formule comme suit : 

53Ŷ = 7.998 - 1.375X1+ 0.594X2 - 0.456X3-0.904X12 +0.75X1X2-0.516X1X3 (11)

54L’équation théorique prédit la durée de vie Ñ. Celle-ci devient, d’après l’équation (3) :

55Ñ = 7.25 108 S*(-1.881Ln(S*)+2,23) D(3.123Ln(S*) -9.81) A(-1.354Ln(S* ) + 4.165) (12)

56L’analyse de variance de ce modèle (tableau 4) montre que celui-ci est significatif avec un coefficient de détermination de 94 %.

Tableau 4. Analyse de variance du modèle

Source

S.S

df

MS

F- Ratio

P-value

Modèle

48

6

8

58

0.0000 ; significatif

Résidu

2.3

17

0.13

Total corr.

50.6

23

R2 = 95 %
R2 (ajusté aux degrés de liberté) = 94 %
Écart type de l’estimé = 0.4

57L’équation (12) est valide pour des variations des variables indépendantes variant entre :

  • 20 < S* < 80 % (S* =100*(S/Su) ; S : contrainte appliquée : Su contrainte ultime)

  • 25 < A < 75 ans

  • 80 < D < 160 mg/ml

3.3. Validation du modèle

58Les résultats ont montré une répartition aléatoire des résidus en fonction de l’ordre des essais (figure 4-a), ce qui vérifie l’hypothèse d’indépendance des résidus.

Figure 4. Étude des résidus

Figure 4. Étude des résidus

59On a observé aussi une variance homogène des résidus en fonction des valeurs prédites (figure 4-b) et de chaque facteur significatif (contrainte (S*) (figure 4-c), densité (D) et âge (A)). Finalement, pour que notre modèle empirique soit valide, l’hypothèse de normalité des résidus est vérifiée (figure 4-d).

4. Discussion

60Le modèle que nous avons développé a été comparé aux résultats publiés par Hansson et coll. (1987) qui ont observé 17 segments lombaires pour huit catégories d’âge variant entre 37 et 82 ans, sous un chargement axial en compression cyclique à 0.5 Hz. L’amplitude du chargement appliqué variait de 60 % à 100 % de la résistance ultime estimée en considérant la teneur minérale de l’os vertébral (BMC).

61Les essais de Hansson ont été réalisés à température ambiante. La rupture s’est produite entre 1 et 1000 cycles, 1000 est le nombre maximal de cycles appliqués dans cette expérience. Ces résultats sont représentés dans la courbe de fatigue S-N de la figure 5.

Figure 5. Courbe de fatigue

Figure 5. Courbe de fatigue

D’après Hansson (1987)

62Les résultats de Hansson (1987), indiquent qu’il y aura rupture des vertèbres au bout de 1000 cycles si la contrainte S* est de l’ordre de 60 % lorsque la densité est faible et les spécimens âgés.

63Or, les résultats que nous avons obtenus concordent avec ceux de Hansson (1987). Pour une contrainte supérieure à 60 % le nombre de cycles prédit par notre modèle reste inférieur à 2000 cycles et même inférieur à 1000 cycles pour des spécimens âgés (figure 6).

64D’après les données expérimentales publiées par Brinckmann (1988), on trouve un coefficient de corrélation de 0,25 en considérant seulement la contrainte appliquée. En faisant le calcul du nombre de cycles N à partir de notre modèle statistique non linéaire et en comparant avec les données expérimentales, non classées, publiées par Brinckmann (1988), nous avons observé une corrélation 0,68. Vu que ces données expérimentales comportaient de nombreux paramètres aléatoires (ou non considérés) et que celles-ci avaient été obtenues avec des spécimens dont plusieurs provenaient de personnes alitées avant leur décès, nous trouvons cette corrélation tout à fait satisfaisante.

Figure 6. Exemple de courbe S* - N : tracée à partir du modèle empirique : pour une densité D =110 mg/ml (seuil de fracture clinique)

Figure 6. Exemple de courbe S* - N : tracée à partir du modèle empirique : pour une densité D =110 mg/ml (seuil de fracture clinique)

65Cette étude permet d’analyser des résultats de fatigue, malgré leur aspect aléatoire dans le cas des os, cependant elle reste limitée pour le nombre faible de cycles de vie (aspect oligocyclique), vu que le nombre de cycles maximal atteint dans les tests de fatigue analysés dans cette étude est de l’ordre de 5000 cycles, avec des charges relativement importantes. Ce n’est donc qu’une faible partie de la courbe de fatigue contrainte-cycles qui a été considérée. Il sera intéressant, dans une étude ultérieure, de compléter la présente recherche en traitant des résultats ayant considéré un nombre de cycles de chargement beaucoup plus grand sous l’effet de très faibles charges.

66Le modèle de prédiction de la durée de vie pourra être amélioré, dans une étude ultérieure, en tenant compte d’autres facteurs, telles la fréquence des vibrations mécaniques, étant donné que les caractéristiques statiques (rigidité, résistance) et dynamiques (matériaux viscoélastiques) dépendent aussi de la fréquence de chargement (Lafferty, 1979 ; Pope, 1998 ; Bovenzi, 1998 ; Magnusson, 1998 ; Seidel, 1998 ; Thomas, 1999 ; Thomas, 2004).

5. Conclusions

67L’application de la méthode des plans d’expériences permet d’analyser statistiquement des résultats ayant une grande variabilité, telle la fatigue des os, vu que les propriétés de l’os changent d’un individu à un autre (âge, densité). Parmi les paramètres qui contrôlent cette inhomogénéité, nous avons considéré la densité osseuse et l’âge du spécimen. Dans notre étude, d’autres facteurs tels que le sexe, la race, le tabagisme, les maladies osseuses (le cancer et l’ostéoporose) sont confondus dans la densité osseuse. L’analyse a montré que les paramètres âge et densité ont un effet antagoniste sur la fatigue des vertèbres. Cet effet est significatif si la contrainte appliquée dépasse 20 % la contrainte ultime des vertèbres.

68Par cette analyse, nous montrons que la fatigue des vertèbres peut être modélisée si on considère, outre la contrainte appliquée, les paramètres de l’âge et de la densité osseuse (R2 élevé). On constate que le modèle non linéaire considérant les interactions entre les variables indépendantes permet d’améliorer la prédiction par rapport à un modèle qui ne tiendrait compte que de la contrainte appliquée. Pour améliorer le modèle de prédiction, il est suggéré d’augmenter les niveaux de contrainte appliquée et d’âge (soit 5 niveaux de contrainte et 3 niveaux d’âge).

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Table des illustrations

Titre Figure 1. Effet de la densité (D) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles
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Titre Figure 2. Effet de l’âge(A) et de la contrainte(S*) sur le nombre de cycles
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Titre Figure 3. Effet de la densité (D) et de l’âge (A) sur le nombre de cycles
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Titre Figure 4. Étude des résidus
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Titre Figure 5. Courbe de fatigue
Crédits D’après Hansson (1987)
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Titre Figure 6. Exemple de courbe S* - N : tracée à partir du modèle empirique : pour une densité D =110 mg/ml (seuil de fracture clinique)
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Pour citer cet article

Référence électronique

Houcine Ayari, Marc Thomas et Sylvie Doré, « Développement d’un modèle statistique de prédiction de la durée de vie du rachis lombaire, dépendant de la contrainte appliquée, de l’âge et de la densité osseuse », Perspectives interdisciplinaires sur le travail et la santé [En ligne], 7-2 | 2005, mis en ligne le 01 mai 2005, consulté le 26 juillet 2017. URL : http://pistes.revues.org/3202 ; DOI : 10.4000/pistes.3202

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Auteurs

Houcine Ayari

École de technologie supérieure, 1100, rue Notre-Dame Ouest, Montréal (Québec), H3C 1K3, houcine.ayari1ens@etsmtl.ca

Marc Thomas

École de technologie supérieure, 1100, rue Notre-Dame Ouest, Montréal (Québec), H3C 1K3, marc.thomas@etsmtl.ca

Sylvie Doré

École de technologie supérieure, 1100, rue Notre-Dame Ouest, Montréal (Québec), H3C 1K3, sylvie.dore@etsmtl.ca

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